Pembahasan Soal SBMPTN 2014 TKD SAINTEK Matematika IPA Kode Soal 512

Nomor 1

Agar 1, a², -2a²√2 dan masing-masing merupakan suku ke 3, suku ke 5, dan suku ke 8 suatu barisan geometri, maka rasio barisan tersebut adalah ....

A. -2
B. -√2
C. 2
D. 2√2
E. 4

Pembahasan :

Perhatikan bahwa tantangan soal disini adalah bagaimana mengeliminasi , sehingga dengan mudah diperoleh rasio barisan geometri tersebut. Hati-hati, disini variabel a tidak melambangkan suku pertama. Oleh karena itu, untuk menghindari kesalahpahaman maka suku pertama pada rumus umum suku ke-n kebarisan geometri kita ganti menjadi huruf ‘a’ besar sebagai berikut:

U_n=Ar^n-1

Perhatikan juga bahwa pada suku ke 5 dan suku ke 8 memuat masing-masing bentuk a² yang tentunya bisa dieliminasi dengan sebuah perbandingan berikut:

Jadi, rasio barisan tersebut adalah -√2.

Dimana seandainya ditanyakan nilai a, maka dengan mudah nilai a bisa ditemukan dari perbandingan berikut:

Jawaban : B

Nomor 2

Banyaknya akar real f(t) = t⁹ - t adalah ....

A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 9

Pembahasan :

Perhatikan f(t) = t⁹ - t.

Mencari banyaknya akar real dari f(t), berarti sama halnya dengan mencari nilai yang menyebabkan f(t) = 0. Banyak akar real tersebut bisa ditentukan dengan mencari berapa jumlah faktor linear dari f(t) dengan cara memfaktorkannya terlebih dahulu sebagai berikut:

Sehingga ada 3 buah faktor linear yaitu t, (t + 1), dan (t - 1).

Jadi, ada 3 buah akar-akar penyelesaian suku banyak yaitu 0, -1, dan 1.

Jawaban : B

Nomor 3

Nilai a yang menyebabkan persamaan 9^x - a . 3^x + a = 0 mempunyai tepat satu akar nyata adalah ....

A. 4
B. 0 atau 4
C. a < 0
D. a < 0 atau 4
E. a < 0 atau a > 4

Pembahasan :

Perhatikan,

Bentuk persamaan di atas serupa dengan bentuk persamaan kuadrat asalkan kita mau memisalkan bentuk 3^x dulu supaya menjadi lebih sederhana.

Misal 3^x = p maka persamaan diatas menjadi,

(3^x)² - a . 3^x + a → p² - ap + a = 0

Nah, bentuk p² - ap + a = 0 akan tepat memiliki satu akar nyata apabila nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah nol.

Pada persamaan kuadrat p² - ap + a = 0, diperoleh nilai A = 1, B = -a, C = 0

Perhatikan, 3^x > 0, maka apabila a = 0 menyebabkan (3^x)² = 0.

Jelas bahwa a = 0 bertentangan dengan syarat 3^x > 0.

Jadi, jawaban yang memenuhi hanya a = 4 saja.

Nomor 4

Bila sin x + cos x = a, maka sin⁴ x + cos⁴ x ....

Pembahasan :

Perhatikan, dari bentuk sin x + cos x = a , apabila kita kuadratkan maka akan diperoleh:

Perhatikan juga bahwa pada soal ditanyakan nilai dari sin⁴ x + cos⁴ x yang dapat diperoleh dari:

Jawaban : D

Nomor 5

Sebuah toko makanan menyediakan es krim dengan 6 rasa berbeda. Banyak cara seseorang pembeli dapat memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah ....

A. 6
B. 20
C. 22
D. 40
E. 120

Pembahasan :

Perhatikan, dalam memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda, ada dua kemungkinan:

- Sudah pasti terpilih 3 rasa berbeda, 2 es krim yang lain memiliki rasa yang sama.
n(A) = ₆C₃ x ₃C₁ = 20 x 3 = 60

- Sudah pasti terpilih 3 rasa berbeda, tapi 2 es krim yang lain rasanya berbeda.
n(B) = ₆C₃ x ₃C₂ = 20 x 3 = 60

Jadi, total cara seorang pembeli dapat memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah:
n = n(A) + n(B) = 60 + 60 = 120

Jawaban : E

Nomor 6

Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva y = bx², 0 ≤ x ≤ t . Jika titik P(x₀,0) sehingga A(x₀):A(1) = 1:8, maka perbandingan luas trapesium ABPQ:DCPQ ....

A. 2 : 1
B. 3 : 1
C. 6 : 1
D. 8 : 1
E. 9 : 1

Pembahasan :

Perhatikan, A(t) adalah luas daerah di bawah kurva y = bx², 0 ≤ x ≤ t.

A(t) dapat dinyatakan dalam integral tertentu sebagai berikut:

Perhatikan, pada soal diketahui bahwa A(x₀) : A(1) = 1 : 8, sehingga diperoleh:

Sehingga, perbandingan luas trapesium ABPQ : DCPQ adalah

Jawaban : B